“分形”是Benoit.B.Mandelbrot在1975年提出的[1]，其原意是“不規(guī)則的、分?jǐn)?shù)的、支離破碎”的物體。分形具有兩個重要特征，即自相似性和標(biāo)度不變性。“分形天線”一詞是在1993年IEEE年會上出現(xiàn)的，在1995年8月Cochen發(fā)表了分形天線的第一篇論文[2]。分形天線是指基于分形結(jié)構(gòu)而設(shè)計的天線。分形結(jié)構(gòu)的自相似特性和標(biāo)度不變特性在分形天線的設(shè)計中體現(xiàn)為多頻帶特性和尺寸縮減特性。此外，分形天線和分形天線陣具有低的旁瓣電平[3-5]。

　　傳統(tǒng)的Koch曲線采用角度為60°的三角形加載，本文突破常規(guī)，在保持天線高度不變的條件下，研究了角度分別為30°、45°、60°、75°時，標(biāo)簽天線的性能，并研究了不同階數(shù)時的天線性能。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計并制作了基于Koch和Hilbert聯(lián)合加載的電子標(biāo)簽，該標(biāo)簽不僅具有較好的性能，而且簡單、便攜、便于應(yīng)用。

　　1 分形結(jié)構(gòu)原理

　　在歐式空間中，人們習(xí)慣于整數(shù)維數(shù)，不會出現(xiàn)小數(shù)。而分形理論打破常規(guī)，把維數(shù)從整數(shù)推廣到了分?jǐn)?shù)。分形曲線的分?jǐn)?shù)維是一個特征數(shù)，用來度量結(jié)構(gòu)的不平度、復(fù)雜性、卷積度等，可以是小數(shù)。即物體或者集合圖形的維數(shù)可以是連續(xù)變化的。對于具有自相似結(jié)構(gòu)的分形圖形，其維數(shù)D是下列方程的解：

　　式中kn為初始曲線的拷貝數(shù)，hn為縮放比例，n為縮比尺度數(shù)。

　　1.1 Koch曲線分形技術(shù)

　　Koch分形幾何是在1904年被瑞典科學(xué)家Helgevon Koch提出的。Koch分形幾何是由仿射變換集的迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)生成。

　　Koch曲線因其具有很強的空間填充屬性，因而近年來在實現(xiàn)天線小型化設(shè)計中受到廣泛的重視和深入研究。由于Koch曲線的拷貝數(shù)為4，縮放比例為3，代入式(1)可以求得Koch曲線的分形維數(shù)為1.262，所以，它是介于一維和二維之間的圖形。

　　Koch曲線的迭代過程如圖1所示：將偶極子天線的兩臂分為三等分，將中間的三分之一臂長換為兩個等長且相交60°的線段，就得到1階Koch曲線，依此類推可以得到高階Koch曲線。這樣不難知道，曲線的總長為L=h×(4/3)n, h為曲線的高度， n為分形階數(shù)。其數(shù)學(xué)推導(dǎo)可以由仿射變換(IFS)得到[6]。

　　其中，a、b、c、d、e、f均為實數(shù)，a、b、c、d表示旋轉(zhuǎn)和收縮，e、f表示位移。w為仿射變換。x1，x2分別為分段點處的坐標(biāo)。將仿射變換寫為:

　　式中,W為Hutchinson算子，w為仿射變換，A為幾何整體，m為拷貝數(shù)。

　　對于Koch曲線，拷貝數(shù)m為4，θ=0°，60°，-60°，0°，r=1/3,根據(jù)Koch的迭代原理，算出位移。根據(jù)參考文獻(xiàn)[6]，Koch曲線的迭代如下所示。

　　1.2 Hilbert曲線分形技術(shù)

　　Hilbert分形具有松散的自相似特性：0階Hilbert是一個正方形輪廓的“半環(huán)”結(jié)構(gòu)，設(shè)其邊長為b、1階是用0階的結(jié)構(gòu)來填充每條邊，從而在每條邊上形成“半環(huán)”結(jié)構(gòu)，設(shè)其邊長為a，將a/b稱為Hilbert分形的比例系數(shù)，如圖2示。

　　由圖2可見，1，2，3，...，n階Hilbert分形的輪廓面積與0階的完全一致，即無論迭代多少次，Hilbert分形的輪廓面積保持不變，且始終只有2個端點。

　　分析可得，n階Hilbert分形的總長度可由如下的(6)式算得。例如：n取0、1、2、3時，分別為：3b、5b、9b、17b。

　　Vinoy等人在參考文獻(xiàn)[7][8]中詳細(xì)探討了Hilbert曲線在設(shè)計緊湊型諧振天線應(yīng)用后發(fā)現(xiàn)，Hilbert分形天線的尺寸減小到λ/10時，性能卻同λ/2偶極子相似。而Zhu在參考文獻(xiàn)[9]中研究了饋點位置對Hilbert分形天線輸入阻抗的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，無論迭代的次數(shù)多少，中心饋電的輻射電阻很小，但恰當(dāng)?shù)剡x擇偏心饋電總能提供50 Ω的匹配阻抗。

　　2 分析與研究

　　2.1 階數(shù)對天線性能的影響

　　基于Koch曲線的偶極子天線的不同階數(shù)的模型如圖3所示。天線的高度為120 mm，線寬為0.5 mm，角度為60°，銅箔厚度為0.015 mm。

　　利用基于FDTD算法的電磁仿真軟件Ansoft HFSS 10.0進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖4所示。

　　從圖4可以看到，對于0階天線，其諧振在1.17 GHz，在保持天線高度不變的條件下，隨著階數(shù)的增加，天線的物理尺寸加長，從而使諧振頻點下降，輻射電阻增大;盡管在不同的階數(shù)對應(yīng)不同的諧振頻率，但是方向圖依然具有普通偶極子的性質(zhì)。需要說明的是，這里選擇天線的高度不變，而不是選擇天線線寬不變，這是因為，根據(jù)參考文獻(xiàn)[10]的推導(dǎo)，天線的輻射功率因子與天線的有效體積成正比。由于輻射功率因子衡量的是輻射的實際功率和電抗功率之比，所以輻射功率因子越大越好，即要求天線的有效體積越大越好?；堇諏Ρ攘溯S線型對稱陣子和方環(huán)的有效體積，其結(jié)論是：雖然細(xì)導(dǎo)線和粗圓錐的實際尺寸大不相同，但是有效體積相差甚小。這是因為天線的有效體積受長度的影響較大，受橫向尺寸影響較小所致。所以，這里的對比是以天線高度不變?yōu)闂l件的。

　　2.2 角度對天線性能的影響

　　對于Koch曲線，傳統(tǒng)的研究都是在角度為60°的條件下設(shè)計模型的。這里分別研究了角度為30°、45°、60°和75°的基于一階Koch曲線的天線性能。根據(jù)以上的分析，這里依然選擇天線高度為120 mm保持不變，線寬0.5 mm，銅箔厚度為0.015 mm。依此設(shè)定構(gòu)造的模型如圖5所示，仿真分析結(jié)果如圖6所示。

　　圖6的仿真結(jié)果表明，隨著角度的增加，天線的諧振頻率下降，但方向圖不會受很大影響。不同的是天線的增益。因為當(dāng)保持中間1/3長度不變時，不同的角度將分別構(gòu)成底角為30°、45°、60°和75°的等腰三角形，由于角度的不同導(dǎo)致兩腰的長度之和不同，這樣，隨著角度的增大，天線的物理尺寸就相應(yīng)地增長，從而導(dǎo)致諧振頻率下降。需要說明的是，當(dāng)角度發(fā)生變化時，Koch曲線的拷貝數(shù)為4，但縮放比例不為3，因此，分形維數(shù)不再是1.262。

　　3 設(shè)計與應(yīng)用

　　基于以上分析，這里設(shè)計一款基于Koch曲線和Hilbert曲線聯(lián)合加載的具有靜電防護(hù)功能的電子標(biāo)簽。天線的尺寸為55 mm×10 mm，銅箔厚度為0.015 mm，天線蝕刻在0.05 mm的PET材料上。所選用的標(biāo)簽芯片在915 MHz，對外呈現(xiàn)的阻抗為Z=18.1-j149Ω。標(biāo)簽?zāi)Ｐ腿鐖D7所示。

　　盡管Koch曲線的高次迭代曲線可以實現(xiàn)預(yù)期的天線指標(biāo)，高次迭代的曲線在理論上是可行的，但是，在實際應(yīng)用中高次迭代的曲線結(jié)構(gòu)復(fù)雜，受制作工藝水平的限制。所以，這里的天線兩臂是采用Koch曲線加載，而短路環(huán)采用Hilbert曲線加載。這樣設(shè)計的優(yōu)點不僅達(dá)到了天線尺寸的縮減，而且Hilbert曲線構(gòu)成的環(huán)狀結(jié)構(gòu)，不僅通過感性加載抵消芯片的容性，而且在直流狀態(tài)下，對標(biāo)簽芯片構(gòu)成短路，通過環(huán)狀銅箔本身的電阻對靜電放電，實現(xiàn)對標(biāo)簽芯片的靜電保護(hù)。在仿真調(diào)試中發(fā)現(xiàn)，Hilbert環(huán)的高度對天線性能的影響比較大，而加載的位置對天線的性能影響比較小，從而可以通過改變Hilbert環(huán)的高度來對標(biāo)簽天線進(jìn)行調(diào)諧。

　　從圖8可以看到，在頻率為900 MHz，天線的VSWR=1.13，增益為1.87 dB，從圖8(c)可以看到，相對于普通偶極子，該天線的尺寸縮減了約60%，但是卻具有普通偶極子的低方向性。用遠(yuǎn)望谷公司的XCRF-804閱讀器，在功率為20 dBm(0.1W)時，測得閱讀距離為2.5～3 m。目前該標(biāo)簽用于鞋廠對出廠產(chǎn)品的不開箱檢測。

　　對于電子標(biāo)簽而言，由于標(biāo)簽天線作為標(biāo)簽芯片與閱讀器實現(xiàn)通信的接口。因此，標(biāo)簽天線性能的好壞將決定RFID系統(tǒng)的靈敏度和閱讀器讀寫的距離。標(biāo)簽天線設(shè)計的總體目標(biāo)是設(shè)計結(jié)構(gòu)緊湊，外形輪廓小巧，高增益，低副瓣。而分形天線工程是實現(xiàn)這一目標(biāo)的方案之一。

　　本文研究了決定基于Koch曲線的標(biāo)簽天線性能的兩個主要因素，即角度和階數(shù)。通過仿真和調(diào)試發(fā)現(xiàn)，隨著角度和階數(shù)的增大，天線的諧振頻率下降。這對天線的小型化設(shè)計提供了重要的指導(dǎo)。此外，基于實際應(yīng)用的考慮，設(shè)計了一款基于Koch和Hilbert曲線聯(lián)合加載的標(biāo)簽天線，不僅具有小的天線尺寸，較好的增益和帶寬，而且結(jié)構(gòu)簡單，便于調(diào)諧，完全滿足實際應(yīng)用的需要。